Chapter 13 Probability

Notes

अध्याय 13: प्रायिकता (Probability) – संपूर्ण नोट्स

कक्षा 12 गणित | Board | Karlo Prep

1. प्रायिकता का परिचय (Introduction to Probability)

प्रायिकता गणित की वह शाखा है, जिसमें किसी घटना के होने की संभावना का अध्ययन किया जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप एक सिक्का उछालते हैं। सिक्के पर चित (Head) या पट (Tail) आ सकता है। हम पहले से निश्चित रूप से नहीं बता सकते कि कौन-सा परिणाम आएगा। प्रायिकता हमें किसी विशेष परिणाम के आने की संभावना ज्ञात करने में मदद करती है।

2. यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment)

ऐसा प्रयोग जिसके परिणाम की पहले से निश्चित भविष्यवाणी नहीं की जा सकती, यादृच्छिक प्रयोग कहलाता है।

उदाहरण:

• सिक्का उछालना।
• पासा फेंकना।
• 52 ताश के पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकालना।

3. प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space)

किसी यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों के समुच्चय को प्रतिदर्श समष्टि कहते हैं। इसे S से दर्शाते हैं।

उदाहरण 1: एक पासा फेंकने पर:

\[S=\{1,2,3,4,5,6\}\]

उदाहरण 2: एक सिक्के को दो बार उछालने पर:

\[S=\{HH,HT,TH,TT\}\]

यहाँ H का अर्थ चित (Head) और T का अर्थ पट (Tail) है।

4. घटना (Event)

प्रतिदर्श समष्टि के किसी उपसमुच्चय को घटना कहते हैं। इसे सामान्यतः A, B या E से दर्शाते हैं।

उदाहरण: एक पासा फेंकने पर:

\[S=\{1,2,3,4,5,6\}\]

माना A = विषम संख्या आने की घटना।

\[A=\{1,3,5\}\]

माना B = अभाज्य संख्या आने की घटना।

\[B=\{2,3,5\}\]

असंभव घटना: ऐसी घटना जो कभी घटित नहीं हो सकती। इसे \(\varnothing\) से दर्शाते हैं।

निश्चित घटना: ऐसी घटना जो हमेशा घटित होती है। इसे S से दर्शाते हैं।

5. किसी घटना की प्रायिकता (Probability of an Event)

जब सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभाव्य हों, तब किसी घटना E की प्रायिकता होती है:

\[\boxed{P(E)=\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}}\]

अथवा,

\[\boxed{P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}}\]

यहाँ n(E) अनुकूल परिणामों की संख्या तथा n(S) कुल संभावित परिणामों की संख्या है।

महत्त्वपूर्ण गुण:

\[0\leq P(E)\leq1\]

\[P(\varnothing)=0\]

\[P(S)=1\]

\[\boxed{P(E)+P(\overline E)=1}\]

यहाँ \(\overline E\), घटना E की पूरक घटना है।

6. परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events)

दो घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी कहलाती हैं, यदि वे एक साथ घटित नहीं हो सकतीं।

\[\boxed{A\cap B=\varnothing}\]

अतः,

\[\boxed{P(A\cap B)=0}\]

उदाहरण: एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित और पट का एक साथ आना असंभव है। इसलिए ये परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।

7. स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)

दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र कहलाती हैं, यदि एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना की प्रायिकता प्रभावित नहीं होती।

स्वतंत्रता की शर्त:

\[\boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B)}\]

यदि A और B स्वतंत्र हैं, तो उनकी पूरक घटनाओं के निम्नलिखित संयोजन भी स्वतंत्र होते हैं:

\[P(A\cap\overline B)=P(A)P(\overline B)\]

\[P(\overline A\cap B)=P(\overline A)P(B)\]

\[P(\overline A\cap\overline B)=P(\overline A)P(\overline B)\]

ध्यान दें: परस्पर अपवर्जी और स्वतंत्र घटनाएँ अलग-अलग अवधारणाएँ हैं। धनात्मक प्रायिकता वाली दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हो सकतीं।

8. प्रायिकता का योग प्रमेय (Addition Theorem)

किन्हीं दो घटनाओं A और B के लिए:

\[\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\]

यदि A और B परस्पर अपवर्जी हैं, तो:

\[\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}\]

9. सप्रतिबंध प्रायिकता (Conditional Probability)

जब हमें यह जानकारी हो कि एक घटना पहले ही घटित हो चुकी है, तब उस शर्त पर दूसरी घटना के घटित होने की प्रायिकता को सप्रतिबंध प्रायिकता कहते हैं।

माना A और B दो घटनाएँ हैं तथा B घटित हो चुकी है। तब B के घटित होने की शर्त पर A की प्रायिकता:

\[\boxed{P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\]

जहाँ \(P(B)>0\)।

इसी प्रकार,

\[\boxed{P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\]

जहाँ \(P(A)>0\)।

हल किया गया उदाहरण 1: सप्रतिबंध प्रायिकता

यदि:

\[P(A)=\frac7{13},\quad P(B)=\frac9{13},\quad P(A\cap B)=\frac4{13}\]

तो \(P(A\mid B)\) ज्ञात कीजिए।

हल:

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

\[=\frac{4/13}{9/13}\]

\[\boxed{P(A\mid B)=\frac49}\]

हल किया गया उदाहरण 2: दो बच्चों वाला परिवार

एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात है कि कम-से-कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लेते हैं कि प्रत्येक बच्चे के लड़का या लड़की होने की संभावना समान है तथा दोनों परिणाम स्वतंत्र हैं।

\[S=\{BB,BG,GB,GG\}\]

माना A = दोनों बच्चे लड़के हैं।

\[A=\{BB\}\]

माना B = कम-से-कम एक बच्चा लड़का है।

\[B=\{BB,BG,GB\}\]

\[A\cap B=\{BB\}\]

अतः,

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

\[=\frac{1/4}{3/4}\]

\[\boxed{P(A\mid B)=\frac13}\]

हल किया गया उदाहरण 3: विद्यालय के विद्यार्थी

एक विद्यालय में 1000 विद्यार्थी हैं, जिनमें 430 लड़कियाँ हैं। यदि 10% लड़कियाँ कक्षा 12 में पढ़ती हैं, तो यादृच्छिक रूप से चुनी गई एक लड़की के कक्षा 12 में पढ़ने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

कुल लड़कियाँ = 430

कक्षा 12 में पढ़ने वाली लड़कियाँ:

\[=\frac{10}{100}\times430=43\]

अतः अभीष्ट प्रायिकता:

\[P(\text{कक्षा 12}\mid\text{लड़की})=\frac{43}{430}\]

\[\boxed{P=\frac1{10}}\]

हल किया गया उदाहरण 4: पासे को तीन बार फेंकना

एक पासे को तीन बार फेंका जाता है। माना A = तीसरी बार 4 आने की घटना तथा B = पहली दो बार क्रमशः 6 और 5 आने की घटना। \(P(A\mid B)\) ज्ञात कीजिए।

हल:

कुल संभावित परिणाम:

\[n(S)=6^3=216\]

घटना B में पहले दो परिणाम निश्चित हैं, जबकि तीसरा परिणाम 6 में से कोई भी हो सकता है।

\[P(B)=\frac6{216}\]

A और B दोनों के घटित होने पर परिणाम (6, 5, 4) होगा।

\[P(A\cap B)=\frac1{216}\]

अतः,

\[P(A\mid B)=\frac{1/216}{6/216}\]

\[\boxed{P(A\mid B)=\frac16}\]

10. सप्रतिबंध प्रायिकता पर अन्य प्रश्न

हल किया गया उदाहरण 5

दिया है:

\[P(E)=0.6,\quad P(F)=0.3,\quad P(E\cap F)=0.2\]