Matrices

Notes

आव्यूह (Matrices) – संपूर्ण नोट्स

आव्यूह (Matrix) बीजगणित की महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। इसका उपयोग संख्याओं या गणितीय राशियों को पंक्तियों (Rows) और स्तंभों (Columns) में व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है। आव्यूहों का उपयोग समीकरणों के निकाय को हल करने तथा गणित, विज्ञान, अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान की विभिन्न शाखाओं में किया जाता है।

1. आव्यूह (Matrix)

संख्याओं, प्रतीकों या व्यंजकों की पंक्तियों और स्तंभों में आयताकार व्यवस्था को आव्यूह (Matrix) कहते हैं।

आव्यूह को सामान्यतः बड़े अक्षरों जैसे A, B, C, X, Y आदि से दर्शाया जाता है।

\[ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

\[ A=[a_{ij}]_{m\times n} \]

यहाँ:

• m = पंक्तियों (Rows) की संख्या
• n = स्तंभों (Columns) की संख्या
• a_ij = \(i\)-वीं पंक्ति और \(j\)-वें स्तंभ में स्थित अवयव

उदाहरण

\[ A= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} \]

इस आव्यूह में:

• पंक्तियों की संख्या = 2
• स्तंभों की संख्या = 3

तथा:

\[ a_{11}=2,\qquad a_{12}=4,\qquad a_{13}=6 \] \[ a_{21}=1,\qquad a_{22}=3,\qquad a_{23}=5 \]

2. आव्यूह की कोटि (Order of a Matrix)

यदि किसी आव्यूह में m पंक्तियाँ और n स्तंभ हों, तो उस आव्यूह की कोटि (Order) होगी:

\[ \boxed{m\times n} \]

उदाहरण

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

यहाँ पंक्तियों की संख्या 2 और स्तंभों की संख्या 3 है। अतः:

\[ \boxed{\text{Order of }A=2\times3} \]

यदि किसी आव्यूह की कोटि \(m\times n\) है, तो उसमें कुल अवयवों की संख्या होगी:

\[ \boxed{mn} \]

3. आव्यूह का सामान्य अवयव (General Element of a Matrix)

यदि:

\[ A=[a_{ij}]_{m\times n} \]

तो \(a_{ij}\), \(i\)-वीं पंक्ति और \(j\)-वें स्तंभ में स्थित अवयव को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए:

\[ A= \begin{bmatrix} 2 & 5 & 7\\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \]

तब:

\[ a_{12}=5,\qquad a_{23}=9 \]

4. आव्यूह का निर्माण (Construction of a Matrix)

यदि किसी आव्यूह के अवयवों के लिए कोई नियम दिया गया हो, तो उस नियम में \(i\) और \(j\) के उचित मान रखकर आव्यूह का निर्माण किया जाता है।

उदाहरण

यदि \(A=[a_{ij}]_{2\times3}\), जहाँ:

\[ a_{ij}=2i+j \]

तो:

\[ a_{11}=2(1)+1=3 \] \[ a_{12}=2(1)+2=4 \] \[ a_{13}=2(1)+3=5 \] \[ a_{21}=2(2)+1=5 \] \[ a_{22}=2(2)+2=6 \] \[ a_{23}=2(2)+3=7 \]

अतः:

\[ \boxed{ A= \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} } \]

5. आव्यूह के प्रकार (Types of Matrices)

5.1 पंक्ति आव्यूह (Row Matrix)

जिस आव्यूह में केवल एक पंक्ति हो, उसे पंक्ति आव्यूह कहते हैं।

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]

5.2 स्तंभ आव्यूह (Column Matrix)

जिस आव्यूह में केवल एक स्तंभ हो, उसे स्तंभ आव्यूह कहते हैं।

\[ A= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} \]

5.3 आयताकार आव्यूह (Rectangular Matrix)

जिस आव्यूह में पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या समान न हो, उसे आयताकार आव्यूह कहते हैं।

\[ m\neq n \]

5.4 वर्ग आव्यूह (Square Matrix)

जिस आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो, उसे वर्ग आव्यूह कहते हैं।

\[ m=n \]

उदाहरण:

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]

5.5 शून्य या रिक्त आव्यूह (Zero or Null Matrix)

जिस आव्यूह के सभी अवयव शून्य हों, उसे शून्य या रिक्त आव्यूह कहते हैं। इसे सामान्यतः \(O\) से दर्शाया जाता है।

\[ O= \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]

5.6 विकर्ण आव्यूह (Diagonal Matrix)

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण (Principal Diagonal) को छोड़कर अन्य सभी अवयव शून्य हों, विकर्ण आव्यूह कहलाता है।

\[ a_{ij}=0,\qquad i\neq j \]

उदाहरण:

\[ A= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} \]

5.7 अदिश आव्यूह (Scalar Matrix)

ऐसा विकर्ण आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव समान हों, अदिश आव्यूह कहलाता है।

\[ A= \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \]

5.8 तत्समक या इकाई आव्यूह (Identity or Unit Matrix)

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव 1 तथा शेष सभी अवयव 0 हों, तत्समक या इकाई आव्यूह कहलाता है। इसे \(I\) से दर्शाया जाता है।

\[ I= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

महत्वपूर्ण गुण:

\[ \boxed{AI=IA=A} \]

5.9 ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह (Upper Triangular Matrix)

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी अवयव शून्य हों, ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह कहलाता है।

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \]

5.10 निचला त्रिकोणीय आव्यूह (Lower Triangular Matrix)

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण के ऊपर के सभी अवयव शून्य हों, निचला त्रिकोणीय आव्यूह कहलाता है।

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

6. आव्यूहों की समानता (Equality of Matrices)

दो आव्यूह \(A\) और \(B\) समान कहलाते हैं यदि:

• दोनों की कोटि समान हो।
• दोनों के संगत अवयव (Corresponding Elements) समान हों।

\[ \boxed{A=B\iff a_{ij}=b_{ij}} \]

उदाहरण

यदि:

\[ \begin{bmatrix} x & 2\\ 3 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 3 & 7 \end{bmatrix} \]