Determinants

Notes

अध्याय 4 – सारणिक (Determinants)

1. सारणिक (Determinant)

सारणिक (Determinant) एक वर्ग आव्यूह (Square Matrix) से संबंधित एक संख्यात्मक मान होता है।

यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो उसके सारणिक को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

\[ |A| \]

या

\[ \det(A) \]

महत्वपूर्ण: सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों के लिए ही परिभाषित होता है।

2. प्रथम कोटि का सारणिक (Determinant of Order 1)

यदि किसी आव्यूह में केवल एक अवयव हो:

\[ A= \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} \]

तो उसका सारणिक होगा:

\[ |A|=a \]

3. द्वितीय कोटि का सारणिक (Determinant of Order 2)

मान लीजिए:

\[ A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \]

तब:

\[ |A|= \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} \]

और इसका मान होगा:

\[ \boxed{|A|=ad-bc} \]

उदाहरण

निम्न सारणिक का मान ज्ञात कीजिए:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{vmatrix} \]

सूत्र:

\[ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc \]

का प्रयोग करने पर:

\[ =2(5)-3(4) \] \[ =10-12 \] \[ =-2 \]

अतः:

\[ \boxed{-2} \]

4. तृतीय कोटि का सारणिक (Determinant of Order 3)

मान लीजिए:

\[ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]

इसका सारणिक इस प्रकार लिखा जाता है:

\[ |A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \]

किसी सारणिक का प्रसार (Expansion) किसी भी पंक्ति या किसी भी स्तंभ के अनुदिश किया जा सकता है।

प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार

\[ |A| = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \]

चिह्न क्रम (Sign Pattern)

सहखंड (Cofactor) ज्ञात करते समय निम्न चिह्न क्रम का प्रयोग किया जाता है:

\[ \boxed{ \begin{bmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{bmatrix} } \]

सारणिक के गुणधर्म (Properties of Determinants)

जटिल सारणिकों को सरल बनाने में सारणिक के गुणधर्म बहुत उपयोगी होते हैं।

5. गुणधर्म 1 – परिवर्त गुणधर्म (Transpose Property)

यदि किसी सारणिक की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर बदल दिया जाए, तो उसके मान में कोई परिवर्तन नहीं होता।

अतः:

\[ \boxed{|A|=|A^T|} \]

उदाहरण:

\[ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c\\ b & d \end{vmatrix} \]

6. गुणधर्म 2 – दो पंक्तियों या स्तंभों का परस्पर परिवर्तन

यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदल दिया जाए, तो सारणिक का चिह्न बदल जाता है।

यदि:

\[ R_i \leftrightarrow R_j \]

तो:

\[ \boxed{\Delta'=-\Delta} \]

इसी प्रकार, यदि:

\[ C_i \leftrightarrow C_j \]

तो:

\[ \boxed{\Delta'=-\Delta} \]

7. गुणधर्म 3 – समान पंक्तियाँ या स्तंभ

यदि किसी सारणिक की कोई दो पंक्तियाँ समान हों, तो उसका मान शून्य होता है।

उदाहरण:

\[ \begin{vmatrix} a & b\\ a & b \end{vmatrix} =0 \]

इसी प्रकार, यदि कोई दो स्तंभ समान हों, तो:

\[ \boxed{\Delta=0} \]

8. गुणधर्म 4 – समानुपाती पंक्तियाँ या स्तंभ

यदि किसी एक पंक्ति के अवयव दूसरी पंक्ति के संगत अवयवों के समानुपाती हों, तो:

\[ \boxed{\Delta=0} \]

यही परिणाम समानुपाती स्तंभों के लिए भी लागू होता है।

9. गुणधर्म 5 – उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common Factor)

यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के सभी अवयवों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो उस गुणनखंड को सारणिक के बाहर निकाला जा सकता है।

उदाहरण:

\[ \begin{vmatrix} ka & kb\\ c & d \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} \]

इसी प्रकार किसी स्तंभ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को भी बाहर निकाला जा सकता है।

10. गुणधर्म 6 – किसी पंक्ति या स्तंभ का गुणन

यदि किसी एक पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक अवयव को किसी अचर \(k\) से गुणा किया जाए, तो सारणिक का मान भी \(k\) से गुणा हो जाता है।

यदि:

\[ R_i\rightarrow kR_i \]

तो:

\[ \boxed{\Delta'=k\Delta} \]

11. गुणधर्म 7 – दूसरी पंक्ति या स्तंभ के गुणज को जोड़ना

यदि किसी एक पंक्ति के किसी गुणज को दूसरी पंक्ति में जोड़ दिया जाए, तो सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण:

\[ R_i\rightarrow R_i+kR_j \]

तब:

\[ \boxed{\Delta'=\Delta} \]

इसी प्रकार:

\[ C_i\rightarrow C_i+kC_j \]

करने पर भी सारणिक का मान नहीं बदलता।

12. गुणधर्म 8 – विभाजन गुणधर्म (Splitting Property)

यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के अवयवों को दो पदों के योग के रूप में लिखा गया हो, तो सारणिक को दो सारणिकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण:

\[ \begin{vmatrix} a+x & b+y\\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y\\ c & d \end{vmatrix} \]

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)

13. सारणिक द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल

मान लीजिए त्रिभुज \(ABC\) के शीर्षों के निर्देशांक हैं:

\[ A(x_1,y_1),\quad B(x_2,y_2),\quad C(x_3,y_3) \]