Chapter 5 Continuity and Differentiability

Notes

सांतत्य एवं अवकलनीयता (Continuity and Differentiability)

1. सांतत्य (Continuity)

मान लीजिए \(f(x)\) अपने प्रांत (Domain) पर परिभाषित एक वास्तविक मान वाला फलन है। फलन \(f(x)\), किसी दिए गए बिंदु \(x=a\) पर सतत कहलाता है यदि:

\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) \]

किसी फलन के \(x=a\) पर सतत होने के लिए:

• दायाँ सीमा मान (Right Hand Limit – RHL) अस्तित्व में होना चाहिए।
• बायाँ सीमा मान (Left Hand Limit – LHL) अस्तित्व में होना चाहिए।
• फलन का मान \(f(a)\) अस्तित्व में होना चाहिए।
• \(RHL=LHL=f(a)\) होना चाहिए।

सांतत्य की शर्त (Condition of Continuity):

\[ \boxed{RHL=LHL=f(a)} \]

दायाँ सीमा मान (Right Hand Limit – RHL)

\(x=a\) पर RHL ज्ञात करने के लिए रखें:

\[ x=a+h \]

जब \(x\to a^+\), तब \(h\to0\)।

अतः:

\[ \boxed{RHL=\lim_{h\to0}f(a+h)} \]

बायाँ सीमा मान (Left Hand Limit – LHL)

\(x=a\) पर LHL ज्ञात करने के लिए रखें:

\[ x=a-h \]

जब \(x\to a^-\), तब \(h\to0\)।

अतः:

\[ \boxed{LHL=\lim_{h\to0}f(a-h)} \]

असतत फलन (Discontinuous Function)

यदि निम्न शर्त संतुष्ट नहीं होती है:

\[ RHL=LHL=f(a) \]

तो फलन \(x=a\) पर असतत (Discontinuous) कहलाता है।

2. बहुपद फलनों की सांतत्य

प्रत्येक बहुपद फलन (Polynomial Function), \(x\) के सभी वास्तविक मानों के लिए सतत होता है।

उदाहरण के लिए, \(f(x)=x^2\) को \(x=2\) पर लें:

\[ f(2)=4 \]

\[ RHL=\lim_{h\to0}(2+h)^2=4 \]

\[ LHL=\lim_{h\to0}(2-h)^2=4 \]

अतः:

\[ RHL=LHL=f(2)=4 \]

इसलिए \(f(x)=x^2\), \(x=2\) पर सतत है।

इसी प्रकार \(f(x)=x^3\) को \(x=2\) पर लें:

\[ f(2)=8 \]

\[ RHL=8,\qquad LHL=8 \]

अतः \(f(x)=x^3\), \(x=2\) पर सतत है।

3. महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function)

महत्तम पूर्णांक फलन \([x]\), पूर्णांक बिंदुओं पर असतत होता है।

मान लीजिए \(x=a\), जहाँ \(a\) एक पूर्णांक है।

फलन का मान:

\[ [a]=a \]

दायाँ सीमा मान:

\[ \lim_{h\to0}[a+h]=a \]

बायाँ सीमा मान:

\[ \lim_{h\to0}[a-h]=a-1 \]

चूँकि:

\[ RHL\neq LHL \]

अतः महत्तम पूर्णांक फलन पूर्णांक बिंदुओं पर असतत होता है।

4. मापांक फलन (Modulus Function)

मापांक फलन \(|x|\), \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए सतत होता है।

5. सतत फलनों का बीजगणित (Algebra of Continuous Functions)

मान लीजिए \(f(x)\) और \(g(x)\) दो सतत फलन हैं। तब उनके उभयनिष्ठ प्रांत (Common Domain) में:

• \(f+g\) सतत होता है।
• \(f-g\) सतत होता है।
• \(fg\) सतत होता है।
• \(\frac{f}{g}\) वहाँ सतत होता है जहाँ \(g\neq0\)।

6. त्रिकोणमितीय फलनों की सांतत्य

\(\sin x\) की सांतत्य

मान लीजिए:

\[ f(x)=\sin x \]

\(x=a\) पर:

\[ f(a)=\sin a \]

\[ RHL=\lim_{h\to0}\sin(a+h) \]

सूत्र:

\[ \sin(a+h)=\sin a\cos h+\cos a\sin h \]

का प्रयोग करने पर:

\[ RHL=\sin a \]

इसी प्रकार:

\[ LHL=\lim_{h\to0}\sin(a-h)=\sin a \]

अतः:

\[ RHL=LHL=f(a)=\sin a \]

इसलिए \(\sin x\), \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए सतत है।

मानक त्रिकोणमितीय फलन

• \(\sin x\), सभी \(x\in R\) के लिए सतत है।
• \(\cos x\), सभी \(x\in R\) के लिए सतत है।
• \(\tan x\) वहाँ सतत है जहाँ \(\cos x\neq0\)।
• \(\cot x\) वहाँ सतत है जहाँ \(\sin x\neq0\)।
• \(\sec x\) वहाँ सतत है जहाँ \(\cos x\neq0\)।
• \(cosec x\) वहाँ सतत है जहाँ \(\sin x\neq0\)।

7. संयुक्त फलन एवं सांतत्य (Composite Functions and Continuity)

यदि \(f\) और \(g\) सतत फलन हैं, तो उनके संयुक्त फलन अपने उभयनिष्ठ प्रांत में सतत होते हैं।

• \(f\circ g\) अपने उभयनिष्ठ प्रांत में सतत है।
• \(g\circ f\) अपने उभयनिष्ठ प्रांत में सतत है।
• \(f\circ f\) अपने उभयनिष्ठ प्रांत में सतत है।
• \(g\circ g\) अपने उभयनिष्ठ प्रांत में सतत है।

8. अन्य सतत फलन

• \(\log x\), \(x>0\) के लिए सतत है।
• \(e^x\), प्रत्येक \(x\in R\) के लिए सतत है।
• प्रत्येक अचर फलन \(f(x)=k\) सतत होता है।
• तत्समक फलन (Identity Function) सतत होता है।

9. खंडशः परिभाषित फलन की सांतत्य

किसी खंडशः परिभाषित फलन (Piecewise-Defined Function) के संधि बिंदु \(x=a\) पर सतत होने के लिए प्रयोग करें:

\[ \boxed{RHL=LHL=f(a)} \]

फलन का मान तथा दोनों ओर से सीमा मान ज्ञात करके उन्हें बराबर रखें। इस शर्त का उपयोग खंडशः परिभाषित फलन में अज्ञात अचरों का मान ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

10. अवकलनीयता (Differentiability)

फलन \(f(x)\), \(x=a\) पर अवकलनीय कहलाता है यदि:

\[ \boxed{LHD=RHD} \]

बायाँ अवकलज (Left Hand Derivative – LHD)

\[ Lf'(a)= \lim_{x\to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]