Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions

Notes

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions)

जब त्रिकोणमितीय फलनों (Trigonometric Functions) के प्रांत (Domain) को उचित रूप से प्रतिबंधित किया जाता है, तब उनके प्रतिलोम फलनों को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions) कहा जाता है। प्रतिलोम फलनों को एकल-मानीय (Single-Valued) बनाने के लिए मुख्य मान शाखाओं (Principal Value Branches) का उपयोग किया जाता है।

1. परिभाषा एवं मुख्य मान परिसर (Definition and Principal Value Ranges)

1.1 प्रतिलोम ज्या फलन (Inverse Sine Function)

यदि

\[ \sin\theta=x, \]

तो

\[ \sin^{-1}x=\theta. \]

यहाँ,

\[ x\in[-1,1] \]

तथा \(\theta\) का मुख्य मान निम्न परिसर में होता है:

\[ \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. \]

1.2 प्रतिलोम कोज्या फलन (Inverse Cosine Function)

यदि

\[ \cos\theta=x, \]

तो

\[ \cos^{-1}x=\theta. \]

यहाँ,

\[ x\in[-1,1] \]

तथा

\[ \theta\in[0,\pi]. \]

1.3 प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन (Inverse Tangent Function)

यदि

\[ \tan\theta=x, \]

तो

\[ \tan^{-1}x=\theta. \]

यहाँ,

\[ x\in\mathbb{R} \]

तथा

\[ \theta\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]

1.4 प्रतिलोम कोटिस्पर्शज्या फलन (Inverse Cotangent Function)

यदि

\[ \cot\theta=x, \]

तो

\[ \cot^{-1}x=\theta. \]

यहाँ,

\[ x\in\mathbb{R} \]

तथा

\[ \theta\in(0,\pi). \]

1.5 प्रतिलोम छेदक फलन (Inverse Secant Function)

यदि

\[ \sec\theta=x, \]

तो

\[ \sec^{-1}x=\theta. \]

यहाँ,

\[ x\in\mathbb{R}-(-1,1) \]

तथा

\[ \theta\in[0,\pi]-\left\{\frac{\pi}{2}\right\}. \]

1.6 प्रतिलोम कोछेदक फलन (Inverse Cosecant Function)

यदि

\[ cosec\theta=x, \]

तो

\[ cosec^{-1}x=\theta. \]

यहाँ,

\[ x\in\mathbb{R}-(-1,1) \]

तथा

\[ \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]-\{0\}. \]

2. ऋणात्मक तर्क के महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulae for Negative Arguments)

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल करने में निम्नलिखित सूत्र उपयोगी हैं:

\[ \sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x \]

\[ \cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x \]

\[ \tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x \]

\[ \cot^{-1}(-x)=\pi-\cot^{-1}x \]

\[ \sec^{-1}(-x)=\pi-\sec^{-1}x \]

\[ cosec^{-1}(-x)=-cosec^{-1}x \]

3. ऋणात्मक तर्क के महत्वपूर्ण सूत्रों की उपपत्ति

3.1 सिद्ध कीजिए कि \(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x\)

मान लीजिए,

\[ \sin^{-1}(-x)=\theta. \]

तब,

\[ \sin\theta=-x. \]

अतः,

\[ -\sin\theta=x \]

या

\[ \sin(-\theta)=x. \]

इसलिए,

\[ \sin^{-1}x=-\theta. \]

अतः,

\[ \boxed{\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x} \]

3.2 सिद्ध कीजिए कि \(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x\)

मान लीजिए,

\[ \cos^{-1}(-x)=\theta. \]

तब,

\[ \cos\theta=-x. \]

अतः,

\[ -\cos\theta=x. \]

हम जानते हैं कि

\[ \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta, \]

इसलिए,

\[ \cos(\pi-\theta)=x. \]

अतः,

\[ \cos^{-1}x=\pi-\theta. \]

इसलिए,

\[ \boxed{\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x} \]

3.3 सिद्ध कीजिए कि \(\cot^{-1}(-x)=\pi-\cot^{-1}x\)

मान लीजिए,

\[ \cot^{-1}(-x)=\theta. \]

तब,

\[ \cot\theta=-x. \]

अतः,

\[ -\cot\theta=x. \]

चूँकि,

\[ \cot(\pi-\theta)=-\cot\theta, \]

इसलिए,

\[ \cot(\pi-\theta)=x. \]

अतः,

\[ \cot^{-1}x=\pi-\theta. \]

इसलिए,

\[ \boxed{\cot^{-1}(-x)=\pi-\cot^{-1}x} \]

4. पूरक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्र (Complementary Inverse Trigonometric Formulae)

महत्वपूर्ण संबंध हैं:

\[ \boxed{\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}} \]