Chapter 6 Applications of Derivatives

Notes

अवकलज के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)

1. राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Quantities)

यदि कोई राशि y, किसी अन्य राशि x के सापेक्ष परिवर्तित होती है, तो उसकी परिवर्तन की दर को निम्न प्रकार दर्शाया जाता है:

dy/dx = x के सापेक्ष y के परिवर्तन की दर

कुछ उपयोगी सूत्र

(i) वर्ग (Square)

• क्षेत्रफल: A = a²
• परिमाप: P = 4a

(ii) आयत (Rectangle)

• क्षेत्रफल: A = ab
• परिमाप: P = 2(a + b)

(iii) वृत्त (Circle)

• क्षेत्रफल: A = πr²
• परिधि: C = 2πr

(iv) घन (Cube)

• पृष्ठीय क्षेत्रफल: A = 6a²
• आयतन: V = a³

(v) गोला (Sphere)

• पृष्ठीय क्षेत्रफल: A = 4πr²
• आयतन: V = (4/3)πr³

(vi) बेलन (Cylinder)

• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: A = 2πr(r + h)
• आयतन: V = πr²h

(vii) शंकु (Cone)

• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: A = πr(l + r)
• आयतन: V = (1/3)πr²h

उदाहरण 1: घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर

एक घन का आयतन 9 cm³/sec की दर से बढ़ रहा है। जब उसके एक किनारे की लंबाई 10 cm हो, तब उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए A घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल, V उसका आयतन तथा a उसके किनारे की लंबाई है।

दिया है:

dV/dt = 9 cm³/sec

ज्ञात करना है: a = 10 cm पर dA/dt

V = a³

dV/dt = 3a²(da/dt)

9 = 3a²(da/dt)

अतः,

da/dt = 9/(3a²)

अब,

A = 6a²

dA/dt = 12a(da/dt)

a = 10 cm पर,

dA/dt = 12 × 10 × 9/(3 × 10²)

dA/dt = 18/5 cm²/sec

उदाहरण 2: वृत्ताकार तरंग

एक शांत झील में एक पत्थर गिराया जाता है और उससे उत्पन्न तरंगें 4 cm/sec की चाल से वृत्ताकार रूप में फैलती हैं। जिस क्षण वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 10 cm हो, उस समय उसके द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए A क्षेत्रफल तथा r वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या है।

दिया है:

dr/dt = 4 cm/sec

ज्ञात करना है: r = 10 cm पर dA/dt

A = πr²

dA/dt = 2πr(dr/dt)

= 2π × 10 × 4

dA/dt = 80π cm²/sec

उदाहरण 3: आयत (Rectangle)

एक आयत की लंबाई x, 3 cm/min की दर से घट रही है तथा चौड़ाई y, 2 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 10 cm तथा y = 6 cm हो, तब निम्नलिखित के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए:

1. परिमाप
2. क्षेत्रफल

दिया है:

dx/dt = -3 cm/min

dy/dt = 2 cm/min

(a) परिमाप

P = 2(x + y)

dP/dt = 2(dx/dt + dy/dt)

= 2(-3 + 2)

dP/dt = -2 cm/min

(b) क्षेत्रफल

A = xy

dA/dt = y(dx/dt) + x(dy/dt)

= 6(-3) + 10(2)

= -18 + 20

dA/dt = 2 cm²/min

उदाहरण 4: घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

एक घन का आयतन 8 cm³/sec की दर से बढ़ रहा है। जब उसके एक किनारे की लंबाई 12 cm हो, तब उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए V आयतन, A पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा a घन के किनारे की लंबाई है।

dV/dt = 8 cm³/sec

V = a³

dV/dt = 3a²(da/dt)

8 = 3a²(da/dt)

da/dt = 8/(3a²)

अब,

A = 6a²

dA/dt = 12a(da/dt)

a = 12 cm पर,

dA/dt = 12 × 12 × 8/(3 × 12²)

dA/dt = 8/3 cm²/sec

उदाहरण 5: वृत्त का क्षेत्रफल

एक वृत्त की त्रिज्या 3 cm/sec की समान दर से बढ़ रही है। जब त्रिज्या 10 cm हो, तब वृत्त के क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए A वृत्त का क्षेत्रफल तथा r उसकी त्रिज्या है।

dr/dt = 3 cm/sec

A = πr²

dA/dt = 2πr(dr/dt)

= 2π × 10 × 3

dA/dt = 60π cm²/sec

उदाहरण 6: घन का आयतन

एक परिवर्ती घन का किनारा 3 cm/sec की दर से बढ़ रहा है। जब किनारे की लंबाई 10 cm हो, तब घन के आयतन के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए V घन का आयतन तथा a उसके किनारे की लंबाई है।

da/dt = 3 cm/sec

V = a³

dV/dt = 3a²(da/dt)

a = 10 cm पर,

dV/dt = 3 × 10² × 3

dV/dt = 900 cm³/sec

उदाहरण 7: वृत्ताकार तरंग

एक शांत झील में एक पत्थर गिराया जाता है और तरंगें 5 cm/sec की चाल से वृत्ताकार रूप में फैलती हैं। जिस क्षण वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm हो, उस समय उसके द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।

dr/dt = 5 cm/sec

A = πr²

dA/dt = 2πr(dr/dt)

= 2π × 8 × 5

dA/dt = 80π cm²/sec

उदाहरण 8: वृत्त की परिधि

एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/sec की दर से बढ़ रही है। उसकी परिधि के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए C वृत्त की परिधि तथा r उसकी त्रिज्या है।

dr/dt = 0.7 cm/sec

C = 2πr

dC/dt = 2π(dr/dt)

= 2π × 0.7

dC/dt = 1.4π cm/sec

उदाहरण 9: गोलाकार गुब्बारा

एक गुब्बारा, जो फुलाए जाने पर सदैव गोलाकार रहता है, उसमें 900 cm³/sec की दर से गैस भरी जा रही है। जब गुब्बारे की त्रिज्या 15 cm हो, तब उसकी त्रिज्या के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए V गुब्बारे का आयतन तथा r उसकी त्रिज्या है।

dV/dt = 900 cm³/sec

V = (4/3)πr³

dV/dt = 4πr²(dr/dt)

900 = 4π × 15² × dr/dt

900 = 900π(dr/dt)

dr/dt = 1/π cm/sec

उदाहरण 10: सीढ़ी की समस्या

5 m लंबी एक सीढ़ी दीवार के सहारे टिकी हुई है। सीढ़ी के निचले सिरे को जमीन पर दीवार से दूर 2 m/sec की दर से खींचा जा रहा है। जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 4 m दूर हो, तब दीवार पर उसकी ऊँचाई के घटने की दर ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए x दीवार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी तथा y दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई है।