Chapter 7 Integrals

Notes

समाकलन (Integrals)

1. समाकलन गणित (प्रतिअवकलज)

अवकलन (Differentiation) की व्युत्क्रम प्रक्रिया को समाकलन (Integration) कहते हैं।

यदि:

d/dx {F(x)} = f(x)

तो:

∫ f(x) dx = F(x) + C

जहाँ C को समाकलन अचर (Constant of Integration) कहते हैं।

2. कुछ उपयोगी सूत्र

• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ sec²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -cot x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ -1
• ∫ (1/x) dx = log|x| + C
• ∫ (1/x²) dx = -1/x + C
• ∫ aˣ dx = aˣ/log a + C
• ∫ eˣ dx = eˣ + C
• ∫ c dx = cx + C
• ∫ dx/√x = 2√x + C
• ∫ dx/√(1 - x²) = sin⁻¹x + C
• ∫ dx/(1 + x²) = tan⁻¹x + C
• ∫ dx/(|x|√(x² - 1)) = sec⁻¹x + C

3. महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय समाकलन

3.1 sin²x का समाकलन

सूत्र का प्रयोग करते हुए:

sin²x = (1 - cos 2x)/2

अतः,

∫ sin²x dx = x/2 - (sin 2x)/4 + C

3.2 cos²x का समाकलन

सूत्र का प्रयोग करते हुए:

cos²x = (1 + cos 2x)/2

अतः,

∫ cos²x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C

3.3 tan²x का समाकलन

सूत्र का प्रयोग करते हुए:

tan²x = sec²x - 1

अतः,

∫ tan²x dx = tan x - x + C

3.4 cot²x का समाकलन

सूत्र का प्रयोग करते हुए:

cot²x = cosec²x - 1

अतः,

∫ cot²x dx = -cot x - x + C

3.5 tan x का समाकलन

tan x = sin x/cos x

अतः,

∫ tan x dx = -log|cos x| + C

अथवा,

∫ tan x dx = log|sec x| + C

3.6 cot x का समाकलन

cot x = cos x/sin x

अतः,

∫ cot x dx = log|sin x| + C

3.7 sec x का समाकलन

∫ sec x dx = log|sec x + tan x| + C

साथ ही,

∫ sec x dx = log|tan(π/4 + x/2)| + C

3.8 cosec x का समाकलन

∫ cosec x dx = log|cosec x - cot x| + C

साथ ही,

∫ cosec x dx = log|tan(x/2)| + C

4. दी गई शर्त के साथ प्रतिअवकलज ज्ञात करना

यदि F(a) = b जैसी कोई शर्त दी गई हो, तो पहले दिए गए अवकलज का समाकलन कीजिए और फिर दी गई शर्त का प्रयोग करके समाकलन अचर का मान ज्ञात कीजिए।

उदाहरण

F(x) ज्ञात कीजिए, यदि:

F'(x) = 4x³ - 6

तथा:

F(0) = 3

समाकलन करने पर,

F(x) = ∫(4x³ - 6)dx

= x⁴ - 6x + C

अब F(0) = 3 का प्रयोग करने पर:

C = 3

अतः,

F(x) = x⁴ - 6x + 3

5. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution)

इस विधि में किसी उपयुक्त व्यंजक को एक नए चर से प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे दिए गए समाकलन को सरल रूप में बदला जा सके।

ऐसे व्यंजक का चयन कीजिए जिसका अवकल (Differential) भी समाकलन में उपस्थित हो।

उदाहरण 1

मान ज्ञात कीजिए:

I = ∫2x sin(x² + 1) dx

मान लीजिए:

t = x² + 1

dt = 2x dx

अतः,

I = ∫sin t dt

I = -cos(x² + 1) + C

उदाहरण 2

मान ज्ञात कीजिए:

I = ∫e^(tan⁻¹x)/(1 + x²) dx

मान लीजिए:

t = tan⁻¹x

dt = dx/(1 + x²)

अतः,

I = ∫eᵗ dt

I = e^(tan⁻¹x) + C

उदाहरण 3

मान ज्ञात कीजिए:

I = ∫(log x)²/x dx

मान लीजिए:

t = log x

dt = dx/x