Chapter 8 Applications of Integrals

Notes

समाकलनों के अनुप्रयोग (Applications of Integrals)

1. वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल (Area Under the Curve)

समाकलन (Integration) का प्रयोग किसी वक्र तथा दी गई रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

1.1 y = f(x), x = a तथा x = b से घिरा क्षेत्रफल

वक्र:

y = f(x)

पर विचार कीजिए, जो ऊर्ध्वाधर रेखाओं:

x = a तथा x = b

के बीच घिरा हुआ है।

अभीष्ट क्षेत्रफल है:

A = ∫ₐᵇ y dx

चूँकि y = f(x), इसलिए:

A = ∫ₐᵇ f(x) dx

1.2 x = f(y), y = c तथा y = d से घिरा क्षेत्रफल

वक्र:

x = f(y)

पर विचार कीजिए, जो क्षैतिज रेखाओं:

y = c तथा y = d

के बीच घिरा हुआ है।

अभीष्ट क्षेत्रफल है:

A = ∫cᵈ x dy

चूँकि x = f(y), इसलिए:

A = ∫cᵈ f(y) dy

2. वृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल

निम्न वृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

x² + y² = a²

दिया गया समीकरण केंद्र (0, 0) तथा त्रिज्या a वाले वृत्त को दर्शाता है।

सममिति (Symmetry) के कारण वृत्त का कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश के क्षेत्रफल का चार गुना होगा।

अतः,

A = 4∫₀ᵃ y dx

समीकरण:

x² + y² = a²

से हमें प्राप्त होता है:

y² = a² - x²

अतः,

y = √(a² - x²)

इसलिए,

A = 4∫₀ᵃ √(a² - x²) dx

निम्न मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:

∫√(a² - x²)dx = (x/2)√(a² - x²) + (a²/2)sin⁻¹(x/a)

हमें प्राप्त होता है:

A = 4[(x/2)√(a² - x²) + (a²/2)sin⁻¹(x/a)]₀ᵃ

A = 4[a²π/4]

अतः,

A = πa² वर्ग इकाई

3. दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल

निम्न दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

x²/a² + y²/b² = 1,   a > b

समीकरण:

x²/a² + y²/b² = 1

से हमें प्राप्त होता है:

y²/b² = 1 - x²/a²

अतः,

y = (b/a)√(a² - x²)

सममिति के कारण दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश के क्षेत्रफल का चार गुना होगा।

अतः,

A = 4∫₀ᵃ y dx

A = (4b/a)∫₀ᵃ √(a² - x²) dx

निम्न मानक समाकलन का प्रयोग करने पर:

∫√(a² - x²)dx = (x/2)√(a² - x²) + (a²/2)sin⁻¹(x/a)

हमें प्राप्त होता है:

A = (4b/a)[(x/2)√(a² - x²) + (a²/2)sin⁻¹(x/a)]₀ᵃ

A = (4b/a)(a²π/4)

अतः,

A = πab वर्ग इकाई

4. परवलय एवं रेखा से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल

निम्न वक्र:

y = x²

तथा रेखा:

y = 4

से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

वक्र y = x² एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है, जिसका शीर्ष (0, 0) है तथा यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित है।

रेखा y = 4, x-अक्ष के समानांतर है।

परवलय को y के पदों में लिखने पर:

x = √y

सममिति के कारण अभीष्ट क्षेत्रफल है:

A = 2∫₀⁴ x dy

अतः,

A = 2∫₀⁴ √y dy

A = 2[y^(3/2)/(3/2)]₀⁴

A = (4/3)[y^(3/2)]₀⁴

A = (4/3)(8)

अतः,

A = 32/3 वर्ग इकाई

5. दो परवलयों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल

निम्न दो परवलयों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

y² = x

तथा:

y = x²

5.1 प्रतिच्छेद बिंदु (Points of Intersection)

समीकरण:

y² = x

तथा:

y = x²

में x = y² को y = x² में रखने पर:

y = y⁴

y(y³ - 1) = 0

अतः:

y = 0 अथवा y = 1

इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु हैं:

(0, 0) तथा (1, 1)।

5.2 अभीष्ट क्षेत्रफल

समीकरण:

y² = x

से हमें प्राप्त होता है:

x = y²

तथा समीकरण:

y = x²

से हमें प्राप्त होता है:

x = √y

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल है:

A = ∫₀¹ √y dy - ∫₀¹ y² dy

A = [2y^(3/2)/3]₀¹ - [y³/3]₀¹

A = 2/3 - 1/3

अतः,

A = 1/3 वर्ग इकाई

6. याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बिंदु

• वक्र y = f(x), जो x = a तथा x = b के बीच घिरा हो, उसके क्षेत्रफल के लिए प्रयोग करें:
  A = ∫ₐᵇ y dx
• वक्र x = f(y), जो y = c तथा y = d के बीच घिरा हो, उसके क्षेत्रफल के लिए प्रयोग करें:
  A = ∫cᵈ x dy
• जहाँ संभव हो, क्षेत्रफल की गणना को सरल बनाने के लिए वक्र की सममिति (Symmetry) का प्रयोग करें।
• मूलबिंदु पर केंद्रित वृत्त तथा दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे 4 से गुणा किया जा सकता है।
• परवलय y = x² तथा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए y-अक्ष के सापेक्ष सममिति का प्रयोग किया जाता है।
• जब कोई क्षेत्र दो वक्रों से घिरा हो, तो समाकलन की सीमाएँ निर्धारित करने के लिए सबसे पहले उनके प्रतिच्छेद बिंदु (Points of Intersection) ज्ञात कीजिए।