Wave Optics

Notes

तरंग प्रकाशिकी (Wave Optics)

1. हाइगेंस का सिद्धांत (Huygens' Principle)

तरंगाग्र (Wavefront): समान कला (Same Phase) में कंपन करने वाले सभी बिंदुओं (कणों) के बिंदुपथ को तरंगाग्र कहते हैं।

तरंगाग्र के प्रकार (Types of Wavefront)

1. गोलीय तरंगाग्र (Spherical Wavefront) – बिंदु स्रोत (Point Source)
2. बेलनाकार तरंगाग्र (Cylindrical Wavefront) – रेखीय स्रोत (Linear Source)
3. समतल तरंगाग्र (Plane Wavefront) – अनंत दूरी पर स्थित स्रोत (Infinite Source)

1.1 गोलीय तरंगाग्र (Spherical Wavefront)

बिंदु स्रोत (Point Source) से प्राप्त तरंगाग्र को गोलीय तरंगाग्र कहते हैं।

1.2 बेलनाकार तरंगाग्र (Cylindrical Wavefront)

रेखीय स्रोत (Linear Source) से प्राप्त तरंगाग्र को बेलनाकार तरंगाग्र कहते हैं।

1.3 समतल तरंगाग्र (Plane Wavefront)

जब कोई बिंदु स्रोत या रेखीय स्रोत अनंत दूरी पर स्थित होता है, तब उससे प्राप्त तरंगाग्र को समतल तरंगाग्र कहते हैं।

2. हाइगेंस के सिद्धांत (Principles of Huygens)

हाइगेंस के सिद्धांत का उपयोग नए तरंगाग्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

प्रथम सिद्धांत (First Principle)

तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु एक नए विक्षोभ अर्थात द्वितीयक तरंगाग्र (Secondary Wavefront) के स्रोत की तरह कार्य करता है।

द्वितीय सिद्धांत (Second Principle)

आगे की दिशा में सभी द्वितीयक तरंगिकाओं (Wavelets) के आवरण (Envelope) से नया द्वितीयक तरंगाग्र प्राप्त होता है।

तृतीय सिद्धांत (Third Principle)

समान कला में समान चाल से कंपन करने वाले सभी कण एक तरंगाग्र पर स्थित होते हैं।

किरण (Ray): तरंगाग्र पर लंबवत खींची गई रेखा को किरण कहते हैं।

3. हाइगेंस के सिद्धांत द्वारा प्रकाश का परावर्तन (Reflection of Light Using Huygens' Principle)

मान लीजिए AB एक आपतित तरंगाग्र (Incident Wavefront) है, जो समतल परावर्तक सतह XY पर गिरता है।

मान लीजिए तरंगाग्र को B से C तक v चाल से पहुँचने में t समय लगता है।

बिंदु A पर BC के बराबर त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचते हैं और फिर स्पर्श रेखा CD खींचते हैं।

हाइगेंस के सिद्धांत के अनुसार, तरंगाग्र AB का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगाग्र के स्रोत के रूप में कार्य करता है।

चूँकि ΔABC और ΔADC समान हैं (S.A.S.):

ΔABC में:

sin i = BC / AC

BC = AC sin i ...(i)

ΔADC में:

sin r = AD / AC

AD = AC sin r ...(ii)

चूँकि BC = AD, इसलिए समीकरण (i) तथा (ii) से:

AC sin i = AC sin r

∴ i = r

आपतित तरंगाग्र, परावर्तित तरंगाग्र तथा आपतन बिंदु पर अभिलंब (Normal) एक ही तल में स्थित होते हैं।

4. हाइगेंस के सिद्धांत द्वारा प्रकाश का अपवर्तन (Refraction of Light Using Huygens' Principle)

मान लीजिए AB एक आपतित तरंगाग्र है, जो अंतरापृष्ठ (Interface) XY पर गिरता है।

मान लीजिए आपतित तरंग की चाल v₁ तथा अपवर्तित तरंग की चाल v₂ है।

हाइगेंस के सिद्धांत के अनुसार, प्राथमिक तरंगाग्र (Primary Wavefront) AB का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगाग्र के स्रोत के रूप में कार्य करता है।

चूँकि ΔABC तथा ΔAPC समान हैं:

ΔABC में:

sin i = BC / AC

BC = AC sin i ...(i)

ΔAPC में:

sin r = AP / AC

AP = AC sin r ...(ii)

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से भाग देने पर:

BC / AP = sin i / sin r ...(iii)

चित्र से:

BC = v₁t

AP = v₂t

इन मानों को समीकरण (iii) में रखने पर:

v₁t / v₂t = sin i / sin r

v₁ / v₂ = sin i / sin r ...(iv)

अब,

v₁ = c / μ₁

v₂ = c / μ₂

इन मानों को समीकरण (iv) में रखने पर:

(c/μ₁) / (c/μ₂) = sin i / sin r

μ₂ / μ₁ = sin i / sin r

μ₁ sin i = μ₂ sin r

आपतित तरंगाग्र, अपवर्तित तरंगाग्र तथा अंतरापृष्ठ पर अभिलंब एक ही तल में स्थित होते हैं।

5. तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत (Principle of Superposition of Waves)

किसी बिंदु पर परिणामी विस्थापन (Resultant Displacement), अलग-अलग तरंगों द्वारा उत्पन्न विस्थापनों के सदिश योग के बराबर होता है।

यदि अलग-अलग विस्थापन y₁, y₂, y₃, ..., yₙ हैं, तो:

y = y₁ + y₂ + y₃ + ... + yₙ

6. तरंगों के अध्यारोपण के प्रकार (Types of Superposition of Waves)

1. संपोषी अध्यारोपण (Constructive Superposition) – चमक (Brightness)
2. विनाशी अध्यारोपण (Destructive Superposition) – अंधकार (Darkness)

6.1 संपोषी अध्यारोपण (Constructive Superposition)

जब एक तरंग का शिखर (Crest) दूसरी तरंग के शिखर पर या एक तरंग का गर्त (Trough) दूसरी तरंग के गर्त पर पड़ता है, तब संपोषी अध्यारोपण होता है।

कला-अंतर (Phase Difference):

0, 2π, 4π, 6π, ...

सामान्य सूत्र:

Phase Difference = 2nπ

पथांतर (Path Difference):

0, λ, 2λ, 3λ, 4λ, ...

सामान्य सूत्र:

Path Difference = nλ

6.2 विनाशी अध्यारोपण (Destructive Superposition)

जब एक तरंग का शिखर दूसरी तरंग के गर्त पर या इसके विपरीत पड़ता है, तब विनाशी अध्यारोपण होता है।

कला-अंतर:

π, 3π, 5π, 7π, ...

सामान्य सूत्र:

Phase Difference = (2n − 1)π

पथांतर:

λ/2, 3λ/2, 5λ/2, 7λ/2, ...

सामान्य सूत्र:

Path Difference = (2n − 1)λ/2

7. प्रकाश का व्यतिकरण (Interference of Light)

प्रकाश + प्रकाश के संयोजन से या तो चमकीला प्रकाश या अंधकार प्राप्त होता है। प्रकाश के इस संयोजन की घटना को प्रकाश का व्यतिकरण कहते हैं।

एकल स्रोत वितरण (Single-Source Distribution): ऊर्जा का वितरण समान होता है।

द्वि-स्रोत वितरण (Double-Source Distribution): ऊर्जा का वितरण असमान होता है।

अतः अध्यारोपण की घटना के कारण किसी माध्यम में प्रकाश ऊर्जा के असमान वितरण को प्रकाश का व्यतिकरण कहते हैं।

8. व्यतिकरण के प्रकार (Types of Interference)

1. संपोषी व्यतिकरण (Constructive Interference)
2. विनाशी व्यतिकरण (Destructive Interference)
3. सतत व्यतिकरण (Sustained Interference)

8.1 संपोषी व्यतिकरण (Constructive Interference)

जिस व्यतिकरण में एक तरंग का शिखर दूसरी तरंग के शिखर पर पड़ता है, उसे संपोषी व्यतिकरण कहते हैं।

8.2 विनाशी व्यतिकरण (Destructive Interference)

जिस व्यतिकरण में एक तरंग का शिखर दूसरी तरंग के गर्त पर या इसके विपरीत पड़ता है, उसे विनाशी व्यतिकरण कहते हैं।

प्रकाश की अधिकतम तीव्रता का बिंदु: संपोषी व्यतिकरण।

प्रकाश की न्यूनतम तीव्रता का बिंदु: विनाशी व्यतिकरण।

8.3 सतत व्यतिकरण (Sustained Interference)

जिस व्यतिकरण में अधिकतम तथा न्यूनतम तीव्रता के बिंदु स्क्रीन पर स्थिर रहते हैं, उसे सतत व्यतिकरण कहते हैं।

9. व्यतिकरण का गणितीय विश्लेषण (Mathematical Analysis of Interference)

मान लीजिए पहली तरंग:

y₁ = a₁ sin ωt

दूसरी तरंग:

y₂ = a₂ sin(ωt + φ)

जहाँ φ दोनों तरंगों के बीच कला-अंतर (Phase Difference) है।

अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार:

y = y₁ + y₂

y = a₁ sin ωt + a₂ sin(ωt + φ)

सूत्र:

sin(ωt + φ) = sinωt cosφ + cosωt sinφ

अतः:

y = sinωt(a₁ + a₂ cosφ) + cosωt(a₂ sinφ)

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

y = A sin(ωt + θ)

या

y = A sinωt cosθ + A cosωt sinθ ...(i)

यहाँ A दोनों तरंगों का परिणामी आयाम (Resultant Amplitude) है।

परिणामी आयाम की गणना (Calculation of Resultant Amplitude)